Newton-Verfahren

Größen und Einheiten

Durchgerechnetes Beispiel

Polynomkoeffizienten a₀; a₁; a₂; …: -1; 0; 1 · Startwert x₀: 2 · Toleranz für |f(x)|: 1e-9

Schritt für Schritt

1. 1

   Addieren

   $$\text{(0 + 1) ≈ 1}$$
2. 2

   Multiplizieren

   $$\text{(0 · (0 + 1)) ≈ 0}$$
3. 3

   Addieren

   $$\text{(1 + 1) ≈ 2}$$
4. 4

   Multiplizieren

   $$\text{(1 · (1 + 1)) ≈ 2}$$
5. 5

   Multiplizieren

   $$\text{(0 · 2) ≈ 0}$$
6. 6

   Addieren

   $$\text{((0 · 2) + 1) ≈ 1}$$
7. 7

   Multiplizieren

   $$\text{(1 · 2) ≈ 2}$$
8. 8

   Addieren

   $$\text{((1 · 2) + 0) ≈ 2}$$
9. 9

   Multiplizieren

   $$\text{(2 · 2) ≈ 4}$$
10. 10

    Addieren

    $$\text{((2 · 2) + (-1)) ≈ 3}$$
11. 11

    Addieren

    $$\text{((0 · 2) + 2) ≈ 2}$$
12. 12

    Addieren

    $$\text{((2 · 2) + 0) ≈ 4}$$
13. 13

    Dividieren

    $$\text{(3 ÷ 4) ≈ 0,75}$$
14. 14

    Subtrahieren

    $$\text{(2 − (3 ÷ 4)) ≈ 1,25}$$
15. 15

    Multiplizieren

    $$\text{(0 · 1,25) ≈ 0}$$
16. 16

    Addieren

    $$\text{((0 · 1,25) + 1) ≈ 1}$$
17. 17

    Multiplizieren

    $$\text{(1 · 1,25) ≈ 1,25}$$
18. 18

    Addieren

    $$\text{((1 · 1,25) + 0) ≈ 1,25}$$
19. 19

    Multiplizieren

    $$\text{(1,25 · 1,25) ≈ 1,5625}$$
20. 20

    Addieren

    $$\text{((1,25 · 1,25) + (-1)) ≈ 0,5625}$$
21. 21

    Addieren

    $$\text{((0 · 1,25) + 2) ≈ 2}$$
22. 22

    Multiplizieren

    $$\text{(2 · 1,25) ≈ 2,5}$$
23. 23

    Addieren

    $$\text{((2 · 1,25) + 0) ≈ 2,5}$$
24. 24

    Dividieren

    $$\text{(0,5625 ÷ 2,5) ≈ 0,225}$$
25. 25

    Subtrahieren

    $$\text{(1,25 − (0,5625 ÷ 2,5)) ≈ 1,025}$$
26. 26

    Multiplizieren

    $$\text{(0 · 1,025) ≈ 0}$$
27. 27

    Addieren

    $$\text{((0 · 1,025) + 1) ≈ 1}$$
28. 28

    Multiplizieren

    $$\text{(1 · 1,025) ≈ 1,025}$$
29. 29

    Addieren

    $$\text{((1 · 1,025) + 0) ≈ 1,025}$$
30. 30

    Multiplizieren

    $$\text{(1,025 · 1,025) ≈ 1,050625}$$
31. 31

    Addieren

    $$\text{((1,025 · 1,025) + (-1)) ≈ 0,050625}$$
32. 32

    Addieren

    $$\text{((0 · 1,025) + 2) ≈ 2}$$
33. 33

    Multiplizieren

    $$\text{(2 · 1,025) ≈ 2,05}$$
34. 34

    Addieren

    $$\text{((2 · 1,025) + 0) ≈ 2,05}$$
35. 35

    Dividieren

    $$\text{(0,050625 ÷ 2,05) ≈ 0,02469512195}$$
36. 36

    Subtrahieren

    $$\text{(1,025 − (0,050625 ÷ 2,05)) ≈ 1,000304878}$$
37. 37

    Addieren

    $$\text{(2 + 1) ≈ 3}$$
38. 38

    Multiplizieren

    $$\text{(0 · 1,000304878) ≈ 0}$$
39. 39

    Addieren

    $$\text{((0 · 1,000304878) + 1) ≈ 1}$$
40. 40

    Multiplizieren

    $$\text{(1 · 1,000304878) ≈ 1,000304878}$$
41. 41

    Addieren

    $$\text{((1 · 1,000304878) + 0) ≈ 1,000304878}$$
42. 42

    Multiplizieren

    $$\text{(1,000304878 · 1,000304878) ≈ 1,000609849}$$
43. 43

    Addieren

    $$\text{((1,000304878 · 1,000304878) + (-1)) ≈ 0,0006098490482}$$
44. 44

    Addieren

    $$\text{((0 · 1,000304878) + 2) ≈ 2}$$
45. 45

    Multiplizieren

    $$\text{(2 · 1,000304878) ≈ 2,000609756}$$
46. 46

    Addieren

    $$\text{((2 · 1,000304878) + 0) ≈ 2,000609756}$$
47. 47

    Dividieren

    $$\text{(0,0006098490482 ÷ 2,000609756) ≈ 0,0003048315876}$$
48. 48

    Subtrahieren

    $$\text{(1,000304878 − (0,0006098490482 ÷ 2,000609756)) ≈ 1,000000046}$$
49. 49

    Addieren

    $$\text{(3 + 1) ≈ 4}$$
50. 50

    Multiplizieren

    $$\text{(0 · 1,000000046) ≈ 0}$$
51. 51

    Addieren

    $$\text{((0 · 1,000000046) + 1) ≈ 1}$$
52. 52

    Multiplizieren

    $$\text{(1 · 1,000000046) ≈ 1,000000046}$$
53. 53

    Addieren

    $$\text{((1 · 1,000000046) + 0) ≈ 1,000000046}$$
54. 54

    Multiplizieren

    $$\text{(1,000000046 · 1,000000046) ≈ 1,000000093}$$
55. 55

    Addieren

    $$\text{((1,000000046 · 1,000000046) + (-1)) ≈ 9,292229697E-8}$$
56. 56

    Addieren

    $$\text{((0 · 1,000000046) + 2) ≈ 2}$$
57. 57

    Multiplizieren

    $$\text{(2 · 1,000000046) ≈ 2,000000093}$$
58. 58

    Addieren

    $$\text{((2 · 1,000000046) + 0) ≈ 2,000000093}$$
59. 59

    Dividieren

    $$\text{(9,292229697E-8 ÷ 2,000000093) ≈ 4,646114633E-8}$$
60. 60

    Subtrahieren

    $$\text{(1,000000046 − (9,292229697E-8 ÷ 2,000000093)) ≈ 1}$$
61. 61

    Addieren

    $$\text{(4 + 1) ≈ 5}$$
62. 62

    Multiplizieren

    $$\text{(0 · 1) ≈ 0}$$
63. 63

    Addieren

    $$\text{((0 · 1) + 1) ≈ 1}$$
64. 64

    Multiplizieren

    $$\text{(1 · 1) ≈ 1}$$
65. 65

    Addieren

    $$\text{((1 · 1) + 0) ≈ 1}$$
66. 66

    Addieren

    $$\text{((1 · 1) + (-1)) ≈ 2,220446049E-15}$$
67. 67

    Restwert f(x) = 2,220446049E-15.

Ergebnis: 1

Voraussetzungen und typische Fehler

Polynome bis Grad 12; reelle Werte. Koeffizienten vom konstanten Glied an eingeben.

Wähle die Einheiten zu den eingegebenen Werten. Einheitenwechsel verändern die Einheit des Zahlenwerts; der Zahlenwert bleibt stehen. Bei Divisionen darf der Nenner nicht null sein. Weitere Einschränkungen werden direkt am Eingabefeld angezeigt.

Wo du das brauchst

Studium: Analysis und numerische Methoden

Mathematik; Analysis; Technische Mathematik.

Einordnung: KMK Mathematik – algorithmische Vertiefung. M-L4 Funktionaler Zusammenhang; Analysis.

Anwendungen in der Ausbildung: technische, naturwissenschaftliche und kaufmännische Ausbildungsberufe.