Normalverteilung und z-Wert

Größen und Einheiten

Durchgerechnetes Beispiel

Mittelwert μ: 0 · Standardabweichung σ: 1 · Untere Grenze: -1 · Obere Grenze: 1

Schritt für Schritt

1. 1

   Subtrahieren

   $$\text{((-1) − 0) ≈ -1}$$
2. 2

   Dividieren

   $$\text{(((-1) − 0) ÷ 1) ≈ -1}$$
3. 3

   Subtrahieren

   $$\text{(1 − 0) ≈ 1}$$
4. 4

   Dividieren

   $$\text{((1 − 0) ÷ 1) ≈ 1}$$
5. 5

   Funktion auswerten

   $$\text{Betrag(1) ≈ 1}$$
6. 6

   Dividieren

   $$\text{(Betrag(1) ÷ 1,414213562) ≈ 0,7071067812}$$
7. 7

   Multiplizieren

   $$\text{(0,3275911 · 0,7071067812) ≈ 0,2316418883}$$
8. 8

   Addieren

   $$\text{(1 + (0,3275911 · 0,7071067812)) ≈ 1,231641888}$$
9. 9

   Dividieren

   $$\text{(1 ÷ (1 + (0,3275911 · 0,7071067812))) ≈ 0,8119243179}$$
10. 10

    Multiplizieren

    $$\text{(1,061405429 · 0,8119243179) ≈ 0,8617808789}$$
11. 11

    Subtrahieren

    $$\text{((1,061405429 · 0,8119243179) − 1,453152027) ≈ -0,5913711481}$$
12. 12

    Multiplizieren

    $$\text{(((1,061405429 · 0,8119243179) − 1,453152027) · 0,8119243179) ≈ -0,480148616}$$
13. 13

    Addieren

    $$\text{((((1,061405429 · 0,8119243179) − 1,453152027) · 0,8119243179) + 1,421413741) ≈ 0,941265125}$$
14. 14

    Multiplizieren

    $$\text{(((((1,061405429 · 0,8119243179) − 1,453152027) · 0,8119243179) + 1,421413741) · 0,8119243179) ≈ 0,7642360446}$$
15. 15

    Subtrahieren

    $$\text{((((((1,061405429 · 0,8119243179) − 1,453152027) · 0,8119243179) + 1,421413741) · 0,8119243179) − 0,284496736) ≈ 0,4797393086}$$
16. 16

    Multiplizieren

    $$\text{(((((((1,061405429 · 0,8119243179) − 1,453152027) · 0,8119243179) + 1,421413741) · 0,8119243179) − 0,284496736) · 0,8119243179) ≈ 0,3895120109}$$
17. 17

    Addieren

    $$\text{((((((((1,061405429 · 0,8119243179) − 1,453152027) · 0,8119243179) + 1,421413741) · 0,8119243179) − 0,284496736) · 0,8119243179) + 0,254829592) ≈ 0,6443416029}$$
18. 18

    Multiplizieren

    $$\text{(((((((((1,061405429 · 0,8119243179) − 1,453152027) · 0,8119243179) + 1,421413741) · 0,8119243179) − 0,284496736) · 0,8119243179) + 0,254829592) · 0,8119243179) ≈ 0,5231566164}$$
19. 19

    Multiplizieren

    $$\text{((-0,7071067812) · 0,7071067812) ≈ -0,5}$$
20. 20

    Funktion auswerten

    $$\text{exp(((-0,7071067812) · 0,7071067812)) ≈ 0,6065306597}$$
21. 21

    Multiplizieren

    $$\text{((((((((((1,061405429 · 0,8119243179) − 1,453152027) · 0,8119243179) + 1,421413741) · 0,8119243179) − 0,284496736) · 0,8119243179) + 0,254829592) · 0,8119243179) · exp(((-0,7071067812) · 0,7071067812))) ≈ 0,3173105277}$$
22. 22

    Subtrahieren

    $$\text{(1 − ((((((((((1,061405429 · 0,8119243179) − 1,453152027) · 0,8119243179) + 1,421413741) · 0,8119243179) − 0,284496736) · 0,8119243179) + 0,254829592) · 0,8119243179) · exp(((-0,7071067812) · 0,7071067812)))) ≈ 0,6826894723}$$
23. 23

    Multiplizieren

    $$\text{(1 · 0,6826894723) ≈ 0,6826894723}$$
24. 24

    Addieren

    $$\text{(1 + (1 · 0,6826894723)) ≈ 1,682689472}$$
25. 25

    Multiplizieren

    $$\text{(0,5 · (1 + (1 · 0,6826894723))) ≈ 0,8413447362}$$
26. 26

    Funktion auswerten

    $$\text{Betrag((-1)) ≈ 1}$$
27. 27

    Dividieren

    $$\text{(Betrag((-1)) ÷ 1,414213562) ≈ 0,7071067812}$$
28. 28

    Multiplizieren

    $$\text{((-1) · 0,6826894723) ≈ -0,6826894723}$$
29. 29

    Addieren

    $$\text{(1 + ((-1) · 0,6826894723)) ≈ 0,3173105277}$$
30. 30

    Multiplizieren

    $$\text{(0,5 · (1 + ((-1) · 0,6826894723))) ≈ 0,1586552638}$$
31. 31

    Subtrahieren

    $$\text{(0,8413447362 − 0,1586552638) ≈ 0,6826894723}$$
32. 32

    Funktion auswerten

    $$\text{Maximum(0; (0,8413447362 − 0,1586552638)) ≈ 0,6826894723}$$
33. 33

    Numerische Näherung der Normalverteilungsfunktion; absoluter Approximationsfehler etwa 2·10⁻⁷.

Ergebnis: 0,6826894723

Voraussetzungen und typische Fehler

Standardisierung erfolgt mit z=(x−μ)/σ. Die Intervallwahrscheinlichkeit ist die Differenz zweier Verteilungsfunktionswerte.

Wähle die Einheiten zu den eingegebenen Werten. Einheitenwechsel verändern die Einheit des Zahlenwerts; der Zahlenwert bleibt stehen. Bei Divisionen darf der Nenner nicht null sein. Weitere Einschränkungen werden direkt am Eingabefeld angezeigt.

Wo du das brauchst

Studium: Wahrscheinlichkeit und Statistik

Mathematik; Statistik; Qualitätsmanagement; Laborpraxis.

Einordnung: KMK Mathematik – Kern; Ausbildung – Qualität/Messtechnik. M-L5; erhöhtes Niveau bzw. länderabhängig.

Anwendungen in der Ausbildung: Industriekaufleute, Laborberufe, Fachinformatiker, Fertigungsberufe.